和算の算額

　桜川市真壁町の筑波山麓に天台宗の古刹「椎尾山薬王院」がある。この寺には江戸時代末期に2面の算額が奉納され現存する。

椎尾山薬王院は平安時代初期に最仙によって開基された。
天台宗の宗祖・最澄が開基した本山の比叡山に似た雰囲気である。

算額とは江戸時代の和算の研究家が数学の問題を和算で解き、巨大な絵馬のような額にして神社仏閣に奉納するものだ。
薬王院には関流の算額が1面、最星流の算額が1面が奉納されている。
いずれも、「勾股弦の定理（こうこげんのていり）」を用いて解く問題が描かれている。

　勾股弦の定理は約2000年程前の漢の時代に作られた古代中国の算術書・「九章算術」に述べられており、西洋の数学の「ピタゴラスの定理（三平方の定理）」と同じ内容である。
わが国では1600年に「勾股」という和算書がまとめられた。

　算額は問題と解答が漢文で書かれているが、解答までの過程が明記されていないものが多い。そこで、ピタゴラスの定理（三平方の定理）で解き、漢文の解答と一致することを確認した。


１．関流の算額：嘉永7年7月（1854）奉納、 常州矢田部藩、嶋勇助源吉叙門人
　　野村善三郎篤敬他8名

92cm x 65cm

【１】右の図：[ 問 ]　全円径　1尺2寸（＝12寸）、大円径　6寸のとき、小円の直径はいくらか

　　　　　[ 答 ]　小円の直径　4寸

【２】左の図：[ 問 ]　全円径　1尺（＝10寸）、大円径　6寸のとき、小円の直径はいくらか

　　　　　[ 答 ]　小円の直径3寸7分5厘

小円半径をXと置き、ピタゴラスの定理に従い方程式を建てると、X＝２となる。従って小円の直径は2X = 4寸となり、算額の答えと一致する。

２．最星流の算額：弘化4年3月（1847）奉納、越後国三嶋郡、竹内弁吉義治 門人10名

103cm x 72cm

【１】右の図：[ 問 ]　乙円径　12寸とすると、大円径、甲円径はいくらか

　　　　　[ 答 ]　外円径　144寸、甲円径　36寸

【２】左の図：[ 問 ]　外円内に勾股弦（直角三角形）と直角三角形の中に天地人の3個の円が入れてある。
　　　　　　　直角三角形を直径とする3つの円を描く。天円径と人円径が得られたとして、外円径を求める術を問う。

　　　　　[ 答 ]　外円径は下記の如し

最星流Q&A2

【問】図のように外円内に勾股弦（即ち、勾股弦を各半円の直径とする）とその内に天地人の３つの円を入れてある。天円径と人円径が与えられたとして、外円径を得る術を問う。

【術】
（１）準備：術を確認するためのテストデータを作成する
　天円と人円が与えられるという条件で外円　を求める問題であるが、勾＝60、股=80、弦＝100と仮に定めると直角三角形の内心円が地円となるので、地円径DはD＝（勾）＋（股）-（弦）＝40 となる。
地円径から天円径は約15、人円径は約21となる。

（２）術（A）：桜川市　椎尾山薬王院の算額
算額は漢文で書いてあるので、松崎俊雄「茨城の算額」が数式に書き直したものを用いる。

子＝（√２）－１＝0.41
丑＝子・（天＋人）÷２＝7.5
寅＝天・人＝315
卯＝√（寅・２）＋丑＝32.6
辰＝√（（卯・子）＾２-寅）+子・卯＝？？？　ルートの中が（-133.2）　実数ではない？？？
外円径＝[1÷｛（卯÷寅）・丑÷２｝]÷辰＝

　「辰」が求められない。その原因は、算額に記されている「術」か、松崎俊雄「茨城の算額」に記された数式かのどらかに誤りがるように思える。

（３）術（B）：笠間市 香取小原神社の算額
まったく同じ問題が、笠間市（旧友部町）坂場の香取小原神社に奉納されていることが分かった。昭和2年（1927年）に内原の横田春雄氏が【問】と【術】を記している。
【術】は松崎俊雄「茨城の算額」に数式に書き直したものがあることを発見したので、この式を使用する。

但し薬王院の算額の「人」は小原神社の算額では「地」と名付けてある。

公＝√（（天径）・（地径））＝17.7
侯＝公・２＋（地径）＋（天径）＝71.5
伯＝｛1.5－（方傾斜）｝・侯＝（1.5－√2）・侯＝6.1
子＝√（（伯＋2公）・伯）＋公＋伯＝39.9
男＝｛子ー（地径）｝÷√（子・（地径））＝0.7
外円径＝[子÷｛男÷（男＋２）^2・32－男^2｝]＊8＝125.5

◆外円径＝125.5　はリーゾナブルな値と思われる。即ち、小原神社の横田春雄氏が記した【術】は正しいと思われる。

　　　小原神社の算額の【術】　　　　　　　　　　　　　　　小原神社の算額の【問】

本小文を執筆するにあたり、松崎俊雄「茨城の算額」筑波書林　を参考にさせて頂いた。